集合问题,M={xlf(x)=x},N={xlf(f(x))=x};证明M包含于N;当f(x)为单调函数时,是否有M=N?证明

集合问题,M={xlf(x)=x},N={xlf(f(x))=x};证明M包含于N;当f(x)为单调函数时,是否有M=N?证明

（1）设a∈M,
则 f (a)=a ，
所以 f (f (a))=f(a)=a
所以 a∈N
所以 M 包含于 N
（2） M=N
证明：设b∈N,
则 f (f (b))=b
假设 b 不属于 M
则 f(b)≠b
因为f(x)为单调函数
所以 f(f(b)) ≠f(b)
即 b 不属于N
与b∈N,矛盾
所以假设不成立，所以 N 包含于M
综合（1） M=N

设a为M中的任一元素， f(a)=a 则有f(f(a))=f(a)=a，因此a也为N中的元素。 所以M中的所有元素也都在N中，因此M包含于N。 但反过来却不成立。