|z|=1，求|z^2+z+4|的最小值。

|z|=1，求|z^2+z+4|的最小值。

若是初中问题，限制在实数域类讨论，则采用网友“lh我爱我家”的解答即可，没有什么难度。
若是高中问题，在复数域类讨论，可用如下两种方法求解：
解法一：
因为|z|=1，设z=cos θ + i * sin θ （0≤θ<2π），由隶莫弗定理，z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。
设t=|z^2+z+4|，
则t=|cos 2θ + i * sin 2θ+cos θ + i * sin θ+4|
=|(4+cos 2θ+cos θ ) + i * (sin 2θ + sin θ)|
t^2=(4+cos 2θ+cos θ )^2 + (sin 2θ + sin θ)^2
=[16+(cos θ )^2+(cos 2θ )^2+8*cos 2θ+8*cos θ +2*cos θ * *cos 2θ ]+[(sin θ)^2+(sin 2θ)^2 +2*sin θ * sin 2θ]
=18+8*cos 2θ+8*cos θ +2*cos θ * cos 2θ + 2*sin θ * sin 2θ
=18+8*cos 2θ+8*cos θ +2*cos θ * [1- 2*(sin θ)^2] + 2*sin θ * 2*sin θ *cos θ
( sin 2θ=2*sin θ *cos θ，cos 2θ=1- 2*(sin θ)^2 )
=18+8*cos 2θ+8*cos θ +2*cos θ - 4*cos θ*(sin θ)^2 + 4*(sin θ)^2 * cos θ
=18+8*cos 2θ+8*cos θ +2*cos θ
=18+8*cos 2θ+10*cos θ
=18+8*[2*(cos θ)^2 - 1]+10*cos θ
( cos 2θ=2*(cos θ)^2 - 1 )
=16*(cos θ)^2 +10*cos θ +10
=16*(cos θ+5/16)^2 +10-25/16
=16*(cos θ+5/16)^2 +135/16，
由于-1≤cos θ≤1，
当cos θ= -5/16时，此时sin θ= ±(√231)/16，z=-5/16±(√231)i/16，t^2取最小值135/16，t=|z^2+z+4|取最小值3/4*√15；
当cos θ= 1时，此时sin θ= 0，z=1，t^2取最大值36，t=|z^2+z+4|取最大值6。
解法二：（文本模式下不方便输入共轭复数，用zb表示z的共轭复数）
因为|z|=1，故|z|^2=z*zb=1，z^2*zb^2=1。
设t=|z^2+z+4|，
则t^2=(z^2+z+4)*(zb^2+zb+4)
=z^2*zb^2+z^2*zb+4*z^2+z*zb^2+z*zb+4*z+4*zb^2+4*zb+16
=1+z+4*z^2+zb+1+4*z+4*zb^2+4*zb+16
=18+5z+5zb+4*z^2+4*zb^2，
设z=cos θ + i * sin θ （0≤θ<2π），则z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。
于是t^2=18+5z+5zb+4*z^2+4*zb^2=18+8*cos 2θ+10*cos θ，
余下同解法一。
不知道是不是把题目抄错了。如果是求|z^2-4*z*i-4|，则可用数形结合的方法非常快捷地算出来。

求|z²+z+4|的最小值。
解：其中|z|=1
则z=±1
那么z²=1
所以当z=-1时|z²+z+4|有最小值
|z²+z+4|的最小值是1-1+4=4