已知AD是三角形ABC 的角平分线，求证AD2=AB*AC-BD*DC. 不要用三角函数，可以用Ceva定理或Menelaus定理

已知AD是三角形ABC 的角平分线，求证AD2=AB*AC-BD*DC. 不要用三角函数，可以用Ceva定理或Menelaus定理

证明：在△ABC中，延长AC到E，使CE＝CD，则AE=AC+CD,∠AED=∠C/2．
在AB边上取点F，使BF＝BD，则AF=AB－BD,∠BDF=∠BFD.
连结DE，DF．
在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2； ①
∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C,
即∠BFD=(∠A+∠C)/2
又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2
∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED；②
由①②得△AED～△ADF(两个角对应相等的两个三角形相似)
则 AE/AD=AD/AF
从而 AD^2＝AE×AF＝(AC＋CD)(AB－BD)=AB*AC-AC*BD+AB*CD-BD*CD ③
另，过B作DA的平行线交CA延长线于G点
从而 BD/DC=BA/AG　④
∵∠AGB=∠CAD=∠DAB=ABG
　　∴AB=AG　代入④得　BD/DC=BA/AC
　　从而 AB*CD-AC*BD=0　⑤
　　将⑤代入③ 得 AD^2=AB*AC+0-BD*CD
　　 =AB*AC-BD*DC

斯特瓦尔特定理推论

你好！ 延长AD交△ABC的外接圆于E，连接EC，在△ABD和△AEC中，∠ABD=∠AEC，∠BAD=∠EAC，所以△ABD∽△AEC，AB/AE=AD/AC，或AE*AD=AB*AC；其中AE*AD=(AD+DE)AD =AD²+DE*AD，而在外接圆中DE*AD=BD*DC，于是AD²+BD*DC=AB*AC，就是 AD²=AB*AC-BD*DC。 如果对你有帮助，望采纳。