跪求与天体运动有关的 椭圆的几何性质

跪求与天体运动有关的 椭圆的几何性质

一种粗略测定天体轨道的方法。在轨道计算中，人们事先不必对天体轨道作任何初始估计，而是从若干观测资料出发，根据力学和几何条件定出天体的初始轨道，以便及时跟踪天体，或作为轨道改进的初值。为了计算六个轨道要素(见二体问题)，至少必须有三次光学观测，因为每次观测只能得到天体坐标的两个分量。 轨道计算是从研究彗星的运动开始的。在牛顿以前，对天体运动的研究基本上带有几何描述的性质。第谷首先试图计算彗星轨道，但未获成功。困难在于只能观测彗星的方向，而不知道它同地球的距离，由于缺少力学规律的指引，无法根据这些定向资料求得天体的空间轨道。在牛顿运动定律和万有引力定律发现螬o开普勒定律有了力学解释，得到了椭圆运动的严格数学表达式，终于能利用少数几次时间相隔不长的观测来测定彗星的轨道。 拉普拉斯方法 第一个正式的轨道计算方法是牛顿提出的。他根据三次观测的资料，用图解法求出天体的轨道。哈雷用这个方法分析了1337～1698年间出现的24颗彗星，发现1531年、1607年和1682年出现的彗星是同一颗彗星，它就是有名的哈雷彗星。在这以后，欧拉、朗伯和拉格朗日等人也在轨道计算方面做了不少研究。拉普拉斯于1780年发表第一个完整的轨道计算的分析方法。这个方法不限制观测的次数，首先根据几次观测，定出某一时刻天体在天球上的视位置(例如赤经、赤纬)及其一次、二次导数，然后从这六个量严格而又简单地求出此时天体的空间坐标和速度，从而定出圆锥曲线轨道的六个要素。这样，拉普拉斯就将轨道计算转化为一个微分方程的初值测定问题来处理。从分析观点来看这是一个好方法，然而轨道计算是一个实际问题，要考虑结果的精确和计算的方便。拉普拉斯方法在实用上不甚方便。由于数值微分会放大误差，这就需要用十分精确的观测资料才能求出合理的导数。尽管许多人曾设ń档驼庵止叩墓鄄庖螬o并取得一定进展，但终究由于计算繁复，在解决实际问题时还是很少使用。 奥伯斯方法和高斯方法 与拉普拉斯不同，奥伯斯和高斯则认为，如果能根据观测资料确定天体在两个不同时刻的空间位置，那么对应的轨道也就可以确定了。也就是说，奥伯斯和高斯把轨道计算转化为一个边值测定问题来处理。因此，问题的关键是如何根据三次定向观测来定出天体在空间的位置。这既要考虑轨道的几何特性，又要应用天体运动的力学定律。这些条件中最基本的一条是天体必须在通过太阳的平面上运动。由于从观测掌握了天体在三个时刻的视方向，一旦确定了轨道平面的取向，除个别特殊情况外，天体在三个时刻的空间位置也就确定了。轨道平面的正确取向的条件是所确定的三个空间位置能满足天体运动的力学定律，例如面积定律。 彗星轨道大都接近抛物线，所以在计算轨道时，常将它们作为抛物线处理。完整的抛物线轨道计算方法是奥伯斯于1797年提出的。他采用牛顿的假设，得到了彗星地心距的关系式；再结合表示天体在抛物线轨道上两个时刻的向径和弦关系的欧拉方程，求出彗星的地心距；从而求出彗星的抛物线轨道。到现在为止，奥伯斯方法虽有不少改进，但基本原理并没有变，仍然是一个常用的计算抛物线轨道的方法。 1801年1月1日，皮亚齐发现了第一号小行星(谷神星)，不久高斯就算出了它的椭圆轨道，他的方法发表于1809年。高斯使用逐次近似法，先求出天体向径所围成的扇形面积与三角形面积之比，然后利用力学条件求得天体应有的空间位置，再从空间位置求得轨道。高斯不仅从理论上、而且从实际上解决了轨道计算问题。可以说，用三次观测决定轨道的实际问题是高斯首先解决的。高斯以后，虽然有人提出一些新方法，但基本原理仍没有变。 人造卫星轨道计算 计算小行星轨道的经典方法，原则上都能用来计算人造卫星的轨道。在考虑到人造卫星的运动特点之后，又提出了一些新的方法。人造卫星运动快，周期短，记时误差对轨道计算结果影响显著。巴特拉科夫在高斯方法的基础上，用增加观测资料的办法，对记时有误差的轨道计算法作了改进。近地卫星一天绕地球飞行十多圈，容易从观测定准它的周期，因而也就知道了轨道半长径，相应地提出了已知半长径的轨道计算法。人造卫星离地球近，视差现象明显，利用两站或多站同步观测容易求得卫星地心距，可以简化经典计算方法。针对卫星摄动影响大的情况，又出现了考虑摄动的轨道计算法。尽管这些方法多种多样，仍不外乎从观测资料求得两个点的向径，或一个点的向径和速度，从而得到轨道要素。 通过对人造卫星激光测距和多普勒测速，利用多站同步观测，或结合光学观测等方法，可以直接得到卫星的向径和速度，从而求得卫星的轨道。应用高速电子计算机，可以进行复杂的迭代运算。因此，目前更多的是综合各种类型的观测资料作轨道改进，而不把精力放在初始轨道的计算上。现代技术条件已能使入轨后的卫星轨道同预定轨道相差不大。这样，预定轨道就能作为初始轨道使用。

参考资料： A. D. Dubyago﹐ The Determination of Orbits﹐Macmillan Co.﹐New York﹐1961.

一：复习提问： 1.回答椭圆的两个定义。焦点在x轴和y轴上的椭圆的标准方程各是什么形式？ 2.代数中研究函数图像时都需要研究函数的哪些性质？ 由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质。 现在我们有三个工具：椭圆的两个定义，图形和标准方程，下面我们就分别从研究定义，图形，方程出发看看能获得哪些性质。 （一） 从定义方面研究： 1.焦点 2．椭圆的第二定义，准线方程及离心率 点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L:x=-a2/c的距离的比是常数c/a，(a>c>0),求点M的轨迹。 求轨迹方程的方法，步骤是什么？ 到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0<e<1)的点的轨迹叫椭圆。 我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。 随着离心率的变化，椭圆的形状发生了怎样的变化？ 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆。可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。 我们把定直线L:x= 叫做椭圆的准线。一个椭圆有几条准线？ （二） 从标准方程研究 3．椭圆的顶点： 曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。另外我们将a,b叫半长轴长和半短轴长。 （三）从椭圆的图形和方程方面研究。 4．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。 5．椭圆的对称性： 椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。 椭圆的定义和标准方程的形式决定了椭圆的对称性质。 例一：求椭圆16x2+25y2=400的长轴，短轴的长，焦点，顶点的坐标，准线方程和离心率 例二：我国发射的第一k颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程。 例三:椭圆的方程 ，椭圆上一点P到左焦点的距离为15，求椭圆的一点P到两条准线的距离。 例四;已知椭圆的长轴长为5，一条准线方程为x=-10，求椭圆的标准方程。 小结;1.知识方面：1)椭圆内切于矩形，且它是以x轴,y轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形。因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出。 2)．在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置，然后再讨论其它性质；（判断方法是“大小分长短，即哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上） 3)．常数e（离心率）是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关。 4).关于准线，根据椭圆的对称性，对于焦点在x轴上的椭圆 的准线方程为x ，对于焦点在y轴上的椭圆 的准线方程为y 2.方法方面：1）给出方程会求椭圆的几何性质。 2）会用待定系数法根据条件求椭圆的方程。 练习：1。设椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦半径互相垂直，且此焦点距长轴较近的端点的距离为 ，求椭圆的方程。 2．直线y= 为椭圆的准线，其短轴长为2 ，求椭圆的标准方程。 3.根据下列条件求出椭圆的标准方程。 1） 中心在原点，焦点在x轴上，焦距为6，离心率为3/5。 2） 中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）。 3） 求下列椭圆的焦点，顶点坐标，离心率，准线方程，长，短轴长。1）9x2+4y2=1 2)

参考资料： http://www.zhzx.net.cn/education/05/shuxue/shuxue008.htm