已知抛物线C的方程为y 2 =2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．（Ⅰ）求证：直线与

已知抛物线C的方程为y 2 =2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足 AQ ? AR =0 ，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于 2 4 ，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）证明：由题知 m＞-
p
2 ，
联立x+y=m与y 2 =2px，消去x可得y 2 +2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且 m＞-
p
2 ，∴△=4p 2 +8pm＞0，
所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；                                 …4分
（Ⅱ）设Q（x 1 ，y 1 ），R（x 2 ，y 2 ），由（*）可得y 1 +y 2 =-2p，y 1 ?y 2 =-2pm
故



AQ ?



AR =( x 1 -1， y 1 )?( x 2 -1， y 2 )=( x 1 -1)( x 2 -1)+ y 1 y 2


=(m-1- y 1 )(m-1- y 2 )+ y 1 y 2
=2y 1 y 2 +（1-m）（y 1 +y 2 ）+（m-1） 2 =m 2 -（2+2p）m+1-2p=0
∴ p=
(m-1) 2
2(m+1) =
m+1
2 +
2
m+1 -2
又由原点O到直线l的距离不大于



2
4 ，则有 -
1
2 ≤m≤
1
2 ，
由（Ⅰ）有 m＞-
p
2 ，即 m＞-
1
4
(m-1) 2
m+1 ，结合 -
1
2 ≤m≤
1
2 ，化简该不等式得：5m 2 +2m+1＞0，恒成立，
∴ -
1
2 ≤m≤
1
2 ，令t=m+1，则 t∈[
1
2 ，
3
2 ]
而函数 y=
t
2 +
2
t -2 在 [
1
2 ，
3
2 ] 上单调递减，∴
1
12 ≤p≤
9
4
∴存在m且 -
1
2 ≤m≤
1
2 ，实数p的取值范围为 [
1
12 ，
9
4 ] ．…10分．

解：(ⅰ)由m(-1，0)可知，准线方程为x=-1 ∴-p/2=-1，得p=2 所以，抛物线方程为y²=4x. (ⅱ)抛物线y²=2px的准线为x=-p/2，故 m(-p/2，0) 设直线l的斜率为k，则其方程为y=k(x +p/2) 代入y²=2px，消掉x，得 ky²-2py+p²k=0 设p(y1²/2p，y1)，q(y2²/2p，y2) 则y1+y2=2p/k，y1·y2=p² 抛物线焦点f(p/2，0)，则 向量fp=(y1²/2p -p/2，y1)，向量fq=(y2²/2p -p/2，y2) 所以，向量fp·向量fq=(y1²/2p -p/2)(y2²/2p -p/2)+y1y2 =y1²y2²/4p² -1/4×(y1²+y2²)+p²/4+y1y2 =(y1y2)²/4p²- 1/4×[(y1+y2)²-2y1y2]+p²/4+y1y2 =p²/4 -p²/k² +p²/2 +p²/4 +p²=2p² -p²/k²=0 整理，得2p²k²=p² 约掉p²，2k²=1 故 k=±(根号2)/2. 【唉，在这里没法打分式和平方，只好这样了，麻烦姐姐凑合着看吧！】 希望小弟的回答对您有帮助o(∩_∩)o~ {楼上的回答不对，第一问和第二问是没有联系的。在第二问中不能利用m(-1，0)这个条件，只能是y²=2px(p＞0)。^_^}