数学问题！！！！求解啊△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上的一点，N是C

如图△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上的一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明。

证明：如图，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1 由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∵BD＝CD ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120° 又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB 附加题： CN－BM＝MN证明：如图，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1 ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠DBM＝∠DCM1＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∵∠BDM＋∠BDN＝60°∴∠CDM1＋∠BDN＝60°∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°∴∠M1DN＝∠MDN ∵AD＝AD∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB

延长ac至p点使得cp=bm， ∵△bdc是等腰三角形,bdc=120° ∴bd=cd,dbc=dcb=30° ∵△abc等边三角形 ∴abc=acb=60° ∴mbd=abc dbc=90° 同理ncd=90° ∴pcd=ncd=mbd=90° ∴△bdm≌△cdp ∴md=pd,mdb=pdc ∵mdn=60° ∴mdb ndc=pdc ndc=bdc-mdn=60°即mdn=pdn=60° ∴△nmd≌△npd ∴mn=pn=nc cp=nc bm ∴△amn的周长=am an mn=am an nc bm=ab ac=3 3=6

CN=NA+AC ,AC=AB所以NC+BM=NA+AM,而NA AM MN正好围成一个钝角为120度的三角形，在三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以我们只能得到NC+BM>NM(两边之差小于第三边,在这里不能应用)

延长MB至E，使BE=CN，连接ED 因为 三角形BDC是顶角角BDC为120度的等腰 所以 BD=DC，角CBD=角BCD=30度 因为 三角形ABC是等边三角形 所以 角ABC=角ACB=60度 所以 角CBD+角ABC=角BCD+角ACB=90度 所以 角ABD=角ACD=90度 因为 角DBE=180-90=90度 所以 角DBE=角ACD 因为 BD=DC，BE=CN 所以 三角形BED全等于三角形CND 所以 DE=DN，角EDB=角NDC 所以 角EDN=角BDC 因为 角BDC=120度 所以 角EDN=角BDC=120度 因为 角MDN=60度 所以 角EDM=120-60=60度 所以 角EDM=角MDN 因为 DE=DN，DM=DM 所以 三角形EDM全等于三角形NDM 所以 MN=ME 因为 ME=BM+BE，BE=CN 所以 MN=BM+CN