设函数f（x）在（-∞，+∞）内是奇函数，且可导，判断下列函数的奇偶性？

1. sinf′(x)
2. ∫﹙0到x﹚sint·f﹙t﹚dt
3. ∫﹙0到x﹚f﹙sint﹚dt
4. ∫﹙0到x﹚[sint+f﹙t﹚]dt
怎么做啊？还有如果一个函数的导函数是奇函数，那么这个函数是不是一定是偶函数？

1. sinf′(x) 偶

2. ∫﹙0到x﹚sint·f﹙t﹚dt 奇
3. ∫﹙0到x﹚f﹙sint﹚dt 偶
4. ∫﹙0到x﹚[sint+f﹙t﹚]dt 偶

由题设f（x）在（-∞，+∞）内是可导的奇函数， 又因为sinx在（-∞，+∞）内是可导的奇函数， 所以：sint?f（t）为偶函数， 由于是在[0，x]上积分，那么偶函数积分一定为奇函数，这是因为奇函数求导就是偶函数，所以反过来在[0，x]上积分也成立， 故： ∫  x  0 sint?f(t)dt为奇函数，（b）正确； sint，f（t）都为奇函数，所以相加也为奇函数，积分后则为偶函数，排除（d）； sint，f（t）都为奇函数，复合函数f（sint）为奇函数，积分后则为偶函数，排除（c）； sint为奇函数，f′（x）为偶函数，复合函数sinf′（x）为偶函数，排除（a）； 故选择：b．

1 ，是偶函数 f′(x) =-f'(-X) sin(f'(x))=sin(-f'(x)) 2，是偶函数 ∫﹙0到x﹚sin(-t)·f﹙-t﹚dt =∫﹙0到x﹚-sint·-f﹙t﹚dt =∫﹙0到x﹚sint·f﹙t﹚dt 3，是奇函数 ∫﹙0到x﹚f﹙sin-t﹚dt =∫﹙0到x﹚f﹙-sint﹚dt = ∫﹙0到x﹚-f﹙sint﹚dt = -∫(0到x﹚f﹙sint﹚dt 4,是奇函数 ∫﹙0到x﹚[sin(-t)+f﹙-t﹚]dt = ∫﹙0到x﹚[-sint-f﹙t﹚]dt = ∫﹙0到x﹚-[sint+f﹙t﹚]dt =-∫﹙0到x﹚[sint+f﹙t﹚]dt 做法： 如果是，把x换成-x带到里面，化简，和原来的比较。 特殊地，可以先把0带进去，如果f（0）不等于0，肯定不是奇函数。 对于复合函数 记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]， 如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]， 则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 导函数是奇函数则原函数是偶函数 已知：F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-A,A),A为常数 求证：F(-x)=F(x) 证明：当x∈(-A,A),A为常数, 令x=任意t，t∈(-A,A),A为常数, ∵F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x) ∴F(-t) =∫[下限-A,上限-t]F'(-t) =∫[下限-A,上限-t]f(-t) =∫[下限-A,上限-t][-f(t)] =-∫)=∫[下限-A,上限-t]f(t); 而F(t) =∫[下限-A,上限t]F'(t) =∫[下限-A,上限t]f(t) =∫[下限-A,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x) {∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0} =∫[下限-A,上限-t]f(t) ∴F(-x)=F(x)得证 所以，导函数是奇函数则原函数是偶函数。

我不说答案了，2楼正确，3楼瞎扯。但我说明一下注意点。 最关键的问题是，偶函数只要求关于y轴轴对称，而奇函数要求关于原点中心对称，所以要想成为奇函数，就非得过0点。这样成为奇函数的要求就更高。 而在这几个关系中，只有偶函数积分无法保证积分结果过0点。 而其他三个，不论是求导还是积分，都是偶变奇，奇变偶。 （最后再说说偶函数的导数为什么一定会是奇函数：因为既然是偶函数，并可导，那么该函数一定过y轴，且该点为极值点。故在该点的导数一定为0。也就是他的导函数定过0点）