高一数学题,在线等

已知f(x)是定义的实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2.证明f(x)是R上的奇函数.

(3)证明f(x)是奇函数。

令m∈[-2,0]， 所以m+2∈[0,4].

又因为 f(x)=2x-x^2

所以f(m+2)=2（m+2）-（m+2）^2

又因为 f(x+2)=-f(x),

所以 f(m+2)=2（m+2）-（m+2）^2= -f(m)

从而 f(m)=m^2+2m

所以x∈[-2,0]， 得 f(x)=x^2+2x

所以在[-2,2]上有 f(-x)= -f(x)

因为 f(x+2)=-f(x)

所以周期T=4

即可证得在R上为奇函数