1. 求证 a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)

1. 求证 a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)

但是为什么
a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>=ab^2c+abc^2+cba^2=abc(a+b+c)
呢？

a^4+b^4+c^4>=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>=ab^2c+abc^2+cba^2=abc(a+b+c)
其中运用了这个公式：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
这是因为
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2>=0

题目好像有点问题，我认为应该是 a^4+b^4+c^4≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2≥abc(a+b+c) 证： 原式＝a^4+b^4+c^4 =1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4) ＝1/2[(a^4－2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2] =1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0 所以 原式＝a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 而同理 a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 =1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2 ＋c^2×a^2＋c^2×a^2 ＋a^2×b^2] ＝1/2[a^2×b^2－2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2 ＋c^2×a^2＋c^2×a^2 -2bca^2＋a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2] =1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2 =1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c) 因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0 所以 a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)

还有一题不知 为什么^2b^2+b^a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 而等

均值不等式