哥德尔不完备定理属于数学哪一块内容

哥德尔不完备定理属于数学哪一块内容

哥德尔不完备定理属于数学中逻辑推理部分。

我们先来看一个句子：「我在说谎」。这句话是谎言，还是真话？这个著名的说谎者悖论其实已经触碰到了哥德尓不完备定理。我们再来看一个句子B：「本句话是假的」。句B是真的，还是假的？假如你判定句B是真的，则句B是假的。假如你判定句B是假的，则句B是真的。所以，你要么接受：句B，既真又假。要么接受：句B的真值，无法判断。哥德尓指出，在任何表达力足够强的形式系统中，我们都可以构造出一个类似句B的命题T，使得 ；即T可以被证明，当且仅当T无法被证明；即T的含义便是「T这个命题是无法被证明的」。通过构造T，哥德尓得出了他的「第一不完备定理」：任何表达力足够强的形式系统都不可能同时具有「一致性」，和「完备性」。什么样的系统具有完备性呢？如果一个系统中所有可以表达的命题，他们的真值都能被决定，要么真，要么假，那么我们就说这个系统是完备的。比如，在算术系统中，命题1>2 是假的，命题3>2是真的，命题是假的。如果所有这样使用二阶逻辑，数字，和其比较符号构成的命题都能被决定真假，那么算术系统就是完备的。什么样的系统具有一致性呢？永远不允许「矛盾」出现的系统，就是一致的。矛盾就是.比如，在某算术系统中，如果不同时允许1 > 2 和 1<=2，就说明该算术系统是「一致」的。为什么这个定理没有叫「哥德尓不一致定理」呢？因为「一致性」实在是一个系统起码的标准。以至于数学家们愿意为了一致放弃完备。你可能注意到，我上边说，只要不同时允许1>2和1<=2，就说明一致。那万一允许了其他矛盾呢？这是不可能的，因为如果系统存在一对矛盾，也就是不一致的话，那么，这个系统就可以推出任何命题和他们的反命题。比如，我们随便举一个命题A：太阳从西边升起。我现在就以1>2和1<=2为前提，尝试推导A。设我们有那么取逆否得到我们已知所以本证明没有使用到A的任何性质，可见，如果一个系统允许矛盾存在，那么这个系统中的任意命题都可得证，这系统也就失去了存在的意义。看到这，你应该已经知道什么叫「一致」和「完备」， 你也就已经理解什么叫「哥德尓不完备定理」了：一个系统要么有矛盾不自恰，要么有命题判断不了。这一切，都是因为T：「本命题无法被证明」。在集合论里，这个T就是罗素悖论：对于一个集合E，E包含所有不包含自己的集合。E是否包含自己？在计算理论里，这个T就是停机问题，如果有一个程序P，P输入一个会终止的程序代码就无限循环，输入一个会无限循环的程序代码就终止；那么把P的代码输入给P，会发生什么？只要一个系统表达力强到可以自指，那么就不可能是完备的。哥德尓当初在算术逻辑系统里用非常巧妙的方法构造了T，这里给出一个非常不严谨的介绍