级数an+1-an 收敛充要条件an收敛

级数an+1-an 收敛充要条件an收敛

级数Σ[a(n+1)-a(n)](从n=1到∞)收敛的定义是它的部分和序列{Σ[a(n+1)-a(n)]}(从n=1到N)收敛。而它的部分和序列的第N项为{Σ[a(n+1)-a(n)]}(从n=1到N)=[a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+[a(4)-a(3)]+…+[a(N+1)-a(N)]=a(N+1)-a(1)，因此部分和序列收敛的充要条件就是
lim [a(N+1)-a(1)]存在，即
lim a(N+1)存在，即数列an收敛。
证明完毕。