什么叫“换元法”?

什么叫“换元法”?

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4 ＋2 －2≥0,先变形为设2 ＝t（t>0）,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝ ＋ 的值域时,易发现x∈[0,1],设x＝sin α ,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时,则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.
均值换元,如遇到x＋y＝S形式时,设x＝ ＋t,y＝ －t等等.
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].