函数f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围

函数f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围

单调增时：a>=-5^(1/2)
单调减时：a<=-3

f'(x)=x²+2ax+5 ∵f（3）在（1，3）上为单调函数，∴f'(x)≤0或f’（x）≥0在（1，3）上恒成立。 令f'(x)=0即x²+2ax+5)=0 则a=-（x²+5）/2x 设g(x)=-（x²+5）/2x 则g’（x）=（5-x²）/2x² 令g’（x）=0得：x=√5或x=-√5（舍去） ∴当1≤x≤√5时，g’（x）≥0，当√5≤x≤3时，g’（x）≤0 ∴g（x）在(1,√5）上递增，在（√5，3）上递减, g（1)=-3 g(3)=-7/3,g(√5）=-√5 ∴g(x)的最大值为g(√5）=-√5，最小值为g（1)=-3 ∴当f'(x)≤0时，a≤g(x)≤g（1)=-3 当f’（x）≥0时，a≥g(x)≥g(√5）=-√5 ∴a≤-3或a≥-√5 此方法为数学上的分离参数法，还有一种方法叫分类讨论法，但比较麻烦，不再详细讨论。