公理与定理

公理与定理

定义、定理、定律和定则

表面上看定义、定理和定律都是由一些文字性的叙述加上数学表达式所组成，形式上确
实差别不大，
而老师上课往往会注重了它们在应用方面的讲授，
忽略了其内在的区别和联系，
造成很多学生从初中到高中甚至大学，
尽管会用其去解决问题，
但对三者之间的区别依然一
知半解；
甚至有部分教师在课堂教学中对此也存在着模糊的认识，
滥用定义；
误把定律当定
理或者定理当定律的事情都常有发生。
下面笔者结合自己的体会，
谈谈在高中物理教学中应
如何讲清它们的一些特点和联系。

对于每一个概念，我们不妨先从词典里对它的解释入手来看问题，然后再辨析一下与它
相近的概念，便于对比和理解。

1
．定义：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说
明。如果用通俗的说法，对某个概念的“定义”告诉我们的是：“什么是”这个量，而我们
常见的
“物理意义”
告诉我们的是：
这个量
“是什么”
。
举个最常见的例子，
如速度，
定义：
速度表示单位时间内通过的位移，物理意义：速度表示物体运动的快慢。

在物理学中，定义是有实际用处的，定义一个量，表面上似乎有一些任意性，但如果是
为了解决生产实际的问题，
那就要求定义出来的量有意义，
有实际用处。
所以没有人随便找
几个物理量来乘乘除除，
起个名字，
创造个新的物理量出来。
假设我们定义一个质点的动能
和动量分别为
E
k
=

mv
3
和
P
=

，如果撇开动能定理和动量定理来说它是否正确，就没
有什么意义了，
因为离开了用到它的场合，
就等于失去了检验它的标准，
而成为没有实际意
义的游戏。
而动能和动量为什么是我们熟知的
E
k
=

mv
2
和
P
=
mv
呢？原因在于我们
可以通过这样的定义，
寻找到某种等量关系，
即动能定理和动量定理，
并可以运用它来帮助
我们解决实际问题。

其次定义的另一个特点在于简化公式或定理，
使定理的文字叙述和公式表达更易于理解
和便于记忆，
也使定理的物理意义更加明确。
例如：
定义冲量等于力乘以力所作用时间的乘
积，即
I
=
f
·
t
，又定义动量是物体的质量与物体速度的乘积，即
P
=
mv
，而动量定理正
是
I
=
P
2
–
P
1
，这样动量定理的表述就更加简洁明了。

定义某个物理量时，都有对应的表达式，或称其为定义式，在定义式中，被定义的量是
不能独立地确定的，
而要靠其他物理量来确定。如：真空中点电荷
Q
的电场强度，
我们可以
定义为

的形式。
因为
F
和
q
可以独立地确定，
但
E
却不能，
它就是由

来
确定的。

并不是什么物理量都有定义的，例如最常见的力，“力是物体之间的相互作用”，显然
不是对力的定义，充其量只是一种说明。还有我们熟悉的“能”的概念，具有做功本领的物
体就具有能，这也不是对“能”的定义。

2
．定理：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的，它能描述
事物之间内在关系，定理具有内在的严密性，不能存在逻辑矛盾。比如：勾股定理，隐含公
理是平直的欧几里得空间，假设是直角三角形。

要明白定理的来源，首先我们必须了解公理，公理是不证自明的真理，是建立科学的基
础，欧几里得《几何原本》
就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系。
公理和定理的区别
主要在于：公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性需要逻辑推理来证明。

在物理学中而定理是通过数学工具（如微积分）推理得来的，如动能定理；定律是由实
验得出或验证的，如机械能守恒定律。

2
/
2

原理与定理极其近似但又稍有区别，原理只要求用自然语言表达（当然并不排除数学表
达），定理则着重于反映原理的数学性。因此，在表达时一定要用数学式来阐明，如“帕斯
卡原理”：在密闭容器内，液体向各个方向传递的压强相等。再如“动能定理”，其表达式
为：

。

3
．定律：定律是通过大量具体的客观事实归纳而成的结论，是描述客观世界变化规律
的表达式或者文字。

定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可
能会失效或者不准确。
没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，
也没有任何一种理
论可能完全正确。
比如：
牛顿运动定律只能在经典力学适用；
热力学第二定律不能推广到整
个宇宙等。由于定律是针对客观世界，所以可以近似或者不完全囊括整个物理世界。

定律和规律的区别：
①规律是客观的，它的存在和发生作用不以人的意志为转移，规律既不能被创造，也不
能被消灭，
具有不可抗拒性；
定律则是主观的，
它是人的认识能力达到一定水平才得出的正
确认识，可以不断地深化、扩展和向前推移。
②规律是事物本身固有的，它们在人的意识之外独立地存在着，不管人们是否承认它、
喜欢它，
它都客观地存在并起着作用；
定律则是人们对某种客观规律的认识，
人们只有通过
实践，
才能发现规律，获得定律。只有学习和掌握规律，
才能利用对规律的认识即定律去指
导实践活动，定律的作用才能发挥出来。
规律和定律的联系：定律是人们对某种客观规律的概括，反映事物在一定条件下发生一
定变化过程的必然联系，定律离不开规律，没有规律也就没有定律。可见，定律不是规律，
规律是定律的内容，定律是某种客观规律的主观映象。
4
．定则：定则反映的是各有关概念之间的普遍关系，并经过人为认定且使用的一些规
则。为了表述方便，
往往加入人为的假定规则，以便概念间的关系变得形象鲜明，
便于理解
和记忆。
定则是人为规定的，比如左、右手定则、安培定则等，都有一定的主观性，关键就是要
让定则简便直观，易于学习和理解。
如果是一个失去双手的人，用双脚来代替左、
右手判定
也未免不是一个好方法。
笔者就曾看到有老师在应用安培定则判断通电螺线管的极性和电流
方向关系的教学中，
不少学生因为螺线管的缠绕方式和电流方向变化的组合改变，
不能正确
按照“让四指弯向螺线管中电流方向”的要求摆出手形，遇到学习障碍。教师采用“以直代
曲”的方式，通过对安培定则手形加以改进，
取得良好的教学效果。这些都说明定则是为了
方便梳理各概念之间的关系而人为建立的。

公理就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律。是无法推出来的。

而定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题，是可以推出来的。