f在(-∞,+∞)上连续，且f(f(x))=x,证明至少存在一点c使得f(c)=c

f在(-∞,+∞)上连续，且f(f(x))=x,证明至少存在一点c使得f(c)=c

设g（x）=f（x）-x，因为f（x）在（-∞，+∞）上连续，所以g（x）也在（-∞，+∞）上连续。
因为f（f（x））=x，任取一个x0点，设y0=f（x0）
根据条件，有f（y0）=f（f（x0））=x0
1、如果y0=x0，那么结论显然成立。
2、如果y0≠x0，
（1），如果y0＞x0，那么g（x0）=f（x0）-x0=y0-x0＞0
g（y0）=f（y0）-y0=x0-y0＜0
根据连续函数的零点存在定理，g（x）在区间（x0，y0）上至少存在一个点c，使得g（c）=0成立，也就是f（c）-c=0成立，即f（c）=c成立，结论成立
（2）），如果y0＜x0，那么g（x0）=f（x0）-x0=y0-x0＜0
g（y0）=f（y0）-y0=x0-y0＞0
根据连续函数的零点存在定理，g（x）在区间（y0，x0）上至少存在一个点c，使得g（c）=0成立，也就是f（c）-c=0成立，即f（c）=c成立，结论成立
综上所述，必然有一点c，使得f（c）=c成立。