设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵
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解决时间 2021-02-19 06:40
- 提问者网友：wodetian
- 2021-02-18 07:18
设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：人類模型
- 2021-02-18 08:17
根据A^2+AB+B^2=0可得A(A+B)=-B^2, 进一步可得到A(A+B)(-B^2)^(-1)=I，
相应地，(-B^2)^(-1)A(A+B)=I,
从而可知 A和A+B都可逆，
并且有A^(-1)=(A+B)(-B^2)^(-1), (A+B)^(-1)=(-B^2)^(-1)A。
相应地，(-B^2)^(-1)A(A+B)=I,
从而可知 A和A+B都可逆，
并且有A^(-1)=(A+B)(-B^2)^(-1), (A+B)^(-1)=(-B^2)^(-1)A。
全部回答
- 1楼网友：举杯邀酒敬孤独
- 2021-02-18 08:41
原式写成b(b+a)=-a^2……（1）
原式右乘a的逆得b^2*(a的逆)+b+a=0，即b+a=-b^2*(a的逆) ……（2）
把（2）代入（1）得b[-b^2*(a的逆) ]=-a^2，右乘a，得b^3=a^3
两边同时右乘a^(-3)得b[b^a*b^(-3)]=e
故b可逆且b的逆为a^2*b^(-3)
（1）两边同时左乘-a^(-2)得b+a可逆，其逆为-a^(-2)b
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