(ax+b)(x^4+1)-(51x-17)=(x^2-4)g(x)求多项式g(x)

(ax+b)(x^4+1)-(51x-17)=(x^2-4)g(x)求多项式g(x)

解：
g(x)为多项式，即(ax+b)(x⁴+1)-(51x-17)能被x²-4整除。
令(ax+b)(x⁴+1)-(51x-17)=(x²-4)(ax³+mx²+nx+p)
整理，得
(b-m)x⁴-(n-4a)x³-(p-4m)x²+(a+4n-51)x+(b+4p+17)=0
等式对于任意x恒成立，则只有
b-m=0
n-4a=0
p-4m=0
a+4n-51=0
b+4p+17=0
解得a=3，b=-1，m=-1，n=12，p=-4
g(x)=ax³+mx²+nx+p=3x³-x²+12x-4
多项式g(x)为3x³-x²+12x-4

解题思路：
1、本题并不是要用a、b表示g(x)，题目条件中的“多项式g(x)”，意思是等式左边的多项式能被x²-4整除，从而可以解得a、b的具体值，进而求得多项式g(x)。
2、由于含有两个参量a、b，若直接构造因式x²-4比较困难，因此采用了待定系数法进行求解。

思路：一个分式要通过初等运算变成多项式，除非分子可以表示成：分母X多项式。

解：等式左边：
(ax+b)(x^4+1)-(51x-17)
=ax^5+ax+bx^4+b-51x+17
=ax^5+bx^4+(a-51)x+17+b
显然g(x)的最高次项为x^3
故设g(x)=(mx^3+nx^2+px+q)
故(x^2-4)(mx^3+nx^2+px+q)
=mx^5+nx^4+px^3+qx^2-4mx^3-4nx^2-4px-4q
整理得mx^5+nx^4+(p-4m)x^3+(q-4n)x^2-4px-4q
由对应系数相等得：
m=a n=b p-4m=0 q-4n=0 -4p=a-51 17+b=-4q
其中a,b为已知量
故解得m=a n=b p=4a=(51-a)/4 q=4b=(b+17)/(-4)
联立解得m=a=3 n=b=-1 p=12 q=-4
即g(x)=3x^3-x^2+12x-4
点评：巧用设多项式的办法，利用多个对应系数相等巧解未知a,b值及多项式，这是一道经典例题！