圆的一般方程是怎么得出来的?困惑!

设圆的方程为，
x^2 + y^2 = r^2,

（x0，y0）为半径为圆上一点.

则，过此点的切线与圆心和此点的连线相互垂直。

若y0 = 0,
则，x0 = r,或者，x0 = -r.

相应的切线方程为，
x = r,或者，x = -r.
符合
xx0 + yy0 = r^2.

若 y0 不等于0，但x0 = 0,
则，y0 = r,或者，y0 = -r.

相应的切线方程为，
y = r,或者，y = -r.
符合
xx0 + yy0 = r^2.

若x0和y0都不等于0。
则，
圆心和此点的连线的斜率为，y0/x0.

所以，过此点的切线的斜率为，-x0/y0.

过此点的切线方程为，

y - y0 = -x0/y0(x - x0),

方程两边同乘y0,

yy0 - (y0)^2 = -x0(x - x0),

yy0 - (y0)^2 + xx0 - (x0)^2 = 0,

xx0 + yy0 = (x0)^2 + (y0)^2 = r^2.

这就是，秘密所在吧。。

一般情况下，
设圆的方程为，
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,

则过圆上某点(x0,y0)的切线方程可以由上面完全类似的推导，得到，
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r^2.

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根据曲线的梯度向量，也可得到相同的结论。

圆(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 上某点(x0, y0)处的1个梯度方向[就是由圆心指向该点的向量]为，
[x0 - a, y0 - b]

切线的方向向量和梯度方向相互垂直，
所以，这2个向量之间的点积（就是对应坐标相乘后求和）= 0。

若(x,y)是切线上的任意1点，
则向量[x - x0, y - y0] 是切线的1个方向向量，

因此，
[x0 - a][x - x0] + [y0 - b][y - y0] = 0,

[x0 - a][x - a + a - x0] + [y0 - b][y - b + b - y0] = 0,

(x - a)[x0 - a] - [x0 - a]^2 + (y - b)[y0 - b] - [y0 - b]^2 = 0,

(x - a)[x0 - a] + (y - b)[y0 - b] = [x0 - a]^2 + [y0 - b]^2 = r^2

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