求函数f(x)=((e^x)-a)²+((e^-x)-a)²(0<a<2)的最小值
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解决时间 2021-02-09 13:39
- 提问者网友：锁深秋
- 2021-02-08 22:25
求函数f(x)=((e^x)-a)²+((e^-x)-a)²(0<a<2)的最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：野慌
- 2021-02-08 22:51
解：f(x) =e^(2x) -2a (e^x) +a^2 +e^(-2x) -2a (e^-x) +a^2
=e^(2x) +e^(-2x) -2a(e^x +e^-x) +2a^2
=(e^x +e^-x)^2 -2a(e^x +e^-x) +2a^2 -2.
令 t =e^x +e^-x,
则 t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
当且仅当 e^x =e^-x, 即x=0 时, 等号成立.
所以 f(x) =g(t)
= t^2 -2at +2a^2 -2
= (t-a)^2 +a^2 -2, t≥2.
又因为 0
g(t) 有最小值 (2-a)^2 +a^2 -2 =2a^2 -4a +2.
即 当 x=0 时,
f(x) 有最小值 2a^2 -4a +2.
= = = = = = = = =
以上计算可能有误.
(1) e^(2x) +e^(-2x) =(e^x +e^-x)^2 -2.
配方法.
(2) t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
基本不等式.
(3) 0
=e^(2x) +e^(-2x) -2a(e^x +e^-x) +2a^2
=(e^x +e^-x)^2 -2a(e^x +e^-x) +2a^2 -2.
令 t =e^x +e^-x,
则 t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
当且仅当 e^x =e^-x, 即x=0 时, 等号成立.
所以 f(x) =g(t)
= t^2 -2at +2a^2 -2
= (t-a)^2 +a^2 -2, t≥2.
又因为 0
g(t) 有最小值 (2-a)^2 +a^2 -2 =2a^2 -4a +2.
即 当 x=0 时,
f(x) 有最小值 2a^2 -4a +2.
= = = = = = = = =
以上计算可能有误.
(1) e^(2x) +e^(-2x) =(e^x +e^-x)^2 -2.
配方法.
(2) t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
基本不等式.
(3) 0
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