已知f（x）=lnx，g（x）=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，
所以g(x)＝
1
3x3+
1
2x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．

g(1)＝0
g′(1)＝1?

m＝?1
n＝
1
6所以g(x)＝
1
3x3+
1
2x2?x+
1
6（6分）
（2）因为h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)＝
1
x?2x?1＝
1?2x2?x
x＝?
(2x?1)(x+1)
x（9分）
当0＜x＜
1
2时，h′（x）＞0；当x＞
1
2时，h′（x）＜0（11分）
因此，当x＝
1
2时，h（x）取得最大值h(
1
2)＝
1
4?ln2（12分）
所以函数h（x）的值域是(?∞，
1
4?ln2]．（13分）