已知函数f（x）=（x2-2ax+a2）lnx，a∈R，（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=-1时，令F（x

答案:2 悬赏:50 手机版

解决时间 2021-03-02 00:25

提问者网友：抽煙菂渘情少年
2021-03-01 00:10

已知函数f（x）=（x2-2ax+a2）lnx，a∈R，（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=-1时，令F（x）=f(x)x+1+x-lnx，证明：F（x）≥-e-2，其中e为自然对数的底数；（3）若函数f（x）不存在极值点，求实数a的取值范围．

最佳答案

五星知识达人网友：神也偏爱
2021-03-01 00:29

（1）解：当a=0时，f（x）=x2lnx（x＞0），则f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，可得x＞e?
1
2 ，令f′（x）＜0，可得0＜x＜e?
1
2 ，
∴f（x）的单调递增区间为（e?
1
2 ，+∞），单调递减区间为（0，e?
1
2 ）；
（2）证明：F（x）=
f(x)
x+1 +x-lnx=xlnx+x，则F′（x）=2+lnx，
∴F（x）在（0，e-2）上单调递减，在（e-2，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（e-2）=-e-2；
（3）解：∵f（x）=（x2-2ax+a2）lnx，
∴f′（x）=
x?a
x （2xlnx+x-a），
令g（x）=2xlnx+x-a，则g′（x）=3+2lnx，
∴g（x）的单调递增区间为（e?
1
2 ，+∞），单调递减区间为（0，e?
1
2 ）；
∴g（x）≥g（e?
1
2 ）=-2e?
1
2 -a．
①a≤0时，∵函数f（x）不存在极值点，∴-2e?
1
2 -a≥0，
∴a≤-2e?
1
2 ；
②a＞0时，g（x）min=-2e?
1
2 -a＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上存在零点，记为x0，
∵函数f（x）不存在极值点，
∴x=a为方程f′（x）=0的重根，
∴2alna+a-a=0，∴a=1，
0＜a＜1时，x0＜1且x0≠a，函数f（x）的极值点为a和x0；
a＞1时，x0＞1且x0≠a，函数f（x）的极值点为a和x0；
a=1时，x0=1，此时函数f（x）无极值．
综上，a≤-2e?
1
2 或a=1．

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1楼网友：一袍清酒付
2021-03-01 00:35

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0. h'(x)=ln(x)+1-2=ln(x)-1, 0e时,h'(x)>0,h(x)单调递增. f(x)=ax^2/2 + 2x, x>=1时,f'(x)=ax+2>=0. x>=1,a>=0时显然满足要求. x>=1,a<0时, f'(x)=ax+2>=0, ax>=-2, ax>=-2>=-2x, a>=-2. a的取值范围是a>=-2. g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a+1)=ax+2-(2a+1)=ax-2a+1, x>0. ln(x)=ax^2 +(1-2a)x, s(x)=ln(x) - ax^2 + (2a - 1)x, 1/e0. s'(x)=1/x - 2ax + 2a-1 = [-2ax^2 +(2a-1)x + 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax+1)(1-x)/x, 1/e0, s(x)单调递增. s(1/e)x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根. s(1/e)=-1-a/e^2 + (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 . s(e)=1-ae^2+(2a-1)e=1-e+ae(2-e)<0. s(1)=a-1. 要使得s(x)在1/e0, s(1/e)<0. 也即, a>1, 0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2, e+e^2>a(2e-1), a<(e+e^2)/(2e-1). (e+e^2)/(2e-1)>(e+e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1. 1

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