A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证
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解决时间 2021-12-01 13:02
- 提问者网友：却不属于对方
- 2021-11-30 21:14
A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证
最佳答案
- 五星知识达人网友：不如潦草
- 2021-11-30 22:10
设A反对称，A′＝-A 注意X′AX是一个数，﹙X′AX﹚′＝X′AX
另一方面，﹙X′AX﹚′＝X′A′X′′＝X′﹙-A﹚X＝-X′AX
∴X′AX＝-X′AX X′AX＝0
反之，设对任意n维列向量X,都有X′AX=0 设A＝﹙aij﹚
取X′＝﹙0……0 1 0……0﹚[第i个是1，其他全部是0] X′AX＝aii＝0 说明A的对角元全部是0.
取X′＝﹙﹙0……0 1 0……0 1 0……0﹚[第i,j个是1，i≠j 其他全部是0]
X′AX＝aii+aji+aij+ajj＝aji+aij＝0 aji＝-aij A′＝-A A反对称.
另一方面，﹙X′AX﹚′＝X′A′X′′＝X′﹙-A﹚X＝-X′AX
∴X′AX＝-X′AX X′AX＝0
反之，设对任意n维列向量X,都有X′AX=0 设A＝﹙aij﹚
取X′＝﹙0……0 1 0……0﹚[第i个是1，其他全部是0] X′AX＝aii＝0 说明A的对角元全部是0.
取X′＝﹙﹙0……0 1 0……0 1 0……0﹚[第i,j个是1，i≠j 其他全部是0]
X′AX＝aii+aji+aij+ajj＝aji+aij＝0 aji＝-aij A′＝-A A反对称.
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- 1楼网友：十年萤火照君眠
- 2021-11-30 22:38
B=A+A^T是对称阵，然后就能用二次型的理论了
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