过点P(0,2)的直线交抛物线y^2=4x于A,B两点,求以OA,OB为邻边平行四边形OAMB的定点M的轨迹方程

过点P(0,2)的直线交抛物线y^2=4x于A,B两点,求以OA,OB为邻边平行四边形OAMB的定点M的轨迹方程

设M（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）
则向量OA=向量BM
（x1,y1）=（x-x2,y-y2）
由上式得：
x=x2+x1
y=y2+y1
设过P的直线方程为y=kx+2
即x=(y-2)/k
代入y²=4x
整理得：y²-(4/k)y+(8/k)=0
y1+y2=4/k
y1y2=8/k
x1+x2=(y1²/4)+(y2²/4)=[（y1+y2）²-2y1y2]/4
=(4-4k)/k²
x=(4-4k)/k²①
y=4/k②
现在就要消掉k了
由①得：x=4(1-k)/k²=(4/k)[(1-k)/k]=(4/k)[(1/k)-1]
把②代入上式,得：x=y[(1/k)-1]
两边乘以4,得：4x=y[(4/k)-4]
再把②代入上式,得：4x=y(y-4)
整理上式,得y²-4y-4x=0
这就是定点M的轨迹方程