李雅普诺夫稳定性的李雅普诺夫稳定性第二定理

李雅普诺夫稳定性的李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数V(x):R→R使得 只有在处等号成立（正定函数） （负定） 则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。
上式中是必要的条件。否则，可以用来“证明”有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。
此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。
利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫第二法虽然利用数学严密的证明了物理世界中的物体稳定的规律，但是要寻找到虚构的能量函数V(x)：R并不容易。迄今为止还没有一种通用的办法找到这个函数。然而对于线性定常系统来说，找到一个使得状态在原点平衡（xe=0）的渐进稳态的充要条件是：对于任意给定的一个对称正定矩阵Q，一定存在唯一正定对称矩阵P，使得原线性定常系统状态方程成立。