求函数y=x/1-x的单调增区间,并用定义证明

求函数y=x/1-x的单调增区间,并用定义证明

它的单调增区间有两个，一个是：(1,+∞),另一个是：（-∞，1）
先证明 函数y(x)在(1,+∞)上单调增，
对任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1 y1-y2=[x1/(1-x1)]-[x2/(1-x2)
=[(x1-x1x2)-(x2-x1x2)]/(1-x1)(1-x2)
=(x1-x2)/(1-x1)(1-x2)
因为1 所以，(x1-x2)<0
(1-x1)(1-x2)>0
所以，y1-y2<0
y1 由单调增函数的定义可知函数y=x/(1-x)是(1,+∞)上的增函数；
再证函数
y(x)在(-∞，1)上单调增，
对任意的x1,x2∈(-∞，1)且x1 y1-y2=[x1/(1-x1)]-[x2/(1-x2)
=[(x1-x1x2)-(x2-x1x2)]/(1-x1)(1-x2)
=(x1-x2)/(1-x1)(1-x2)
因为x1 所以，(x1-x2)<0
(1-x1)(1-x2)>0
所以，y1-y2<0
y1 所以，函数y(x)在(-∞,1)是增函数；
（注在整个定义域上不是增函数，

证明：设0<x1<x2，y1=x1+1/x1，y2=x2+1/x2，y1-y2=x1-x2+1/x1-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1x2 =(x1-x2)(1-1/x1x2) 当0<x1<x2<1时，(x1-x2)(1-1/x1x2)>0，此时y为减函数 当1<x1<x2时，(x1-x2)(1-1/x1x2)<0，此时y为增函数。 因此，该函数的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间(1,+无穷)