设方程p²x²+q²x+r²=0的两根是方程px²+qx+r=0的两根的平方，求证q²=pr

设方程p²x²+q²x+r²=0的两根是方程px²+qx+r=0的两根的平方，求证q²=pr.

首先假设方程px²+qx+r=0的两根为x1,x2

∴ x1*x2=r/p;x1+x2=—q/p;

假设方程p²x²+q²x+r²=0的两根为:A1,A2

所以A1+A2=—q^2/P^2;

∵方程p²x²+q²x+r²=0的两根是方程px²+qx+r=0的两根的平方

∴ A1+A2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2—2*x1*x2;

∴ —q^2/P^2=q^2/p^2—2(r/p)

即 2*（q^2/p^2）=2*(r/p)

    p^2*r=q^2*p

所以 q^2=pr

设第一个方程两根x1，x2。第二个方程两根x3，x4。

由题意：x1=x3²    x2=x4²

由韦达定理：x1+x2= - q²/p²    x3+x4= - q/p    x3 * x4=r/p

又∵x1+x2=x3²+x4²=（x3+x4）² - 2 * x3 * x4

∴  - q ²/p²=q²/p² - （2*r）/p

∴  q²=pr

命题得证