设(f,g)=1令n是任意正整数,证明:(f,g^n)=1
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解决时间 2021-11-29 20:51
- 提问者网友：伴风望海
- 2021-11-29 02:58
设(f,g)=1令n是任意正整数,证明:(f,g^n)=1
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-11-29 04:35
用数学归纳法
当n=1时，(f,g)=1，即存在a(x)和b(x)，使得af+bg=1……①
假设当n=k时，(f,g^k)=1成立，即存在u(x)和v(x)，使得uf+vg^k=1……②
当n=k+1时，将①②两式相乘
(af+bg)(uf+vg^k)=1
auf^2+avfg^k+bufg+bvg^(k+1)=1
(auf+avg^k+bug)f+bvg^(k+1)=1
所以(f,g^(k+1))=1
原题得证
当n=1时，(f,g)=1，即存在a(x)和b(x)，使得af+bg=1……①
假设当n=k时，(f,g^k)=1成立，即存在u(x)和v(x)，使得uf+vg^k=1……②
当n=k+1时，将①②两式相乘
(af+bg)(uf+vg^k)=1
auf^2+avfg^k+bufg+bvg^(k+1)=1
(auf+avg^k+bug)f+bvg^(k+1)=1
所以(f,g^(k+1))=1
原题得证
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