求椭圆上任意一点到椭圆圆心的距离？

求椭圆上任意一点到椭圆圆心的距离？

参数方程：
x = a*cost
y = b*sint
注意，t 不是 α
y/x = tg(α) = b/a * tg(t)

所求为：
r^2 = x^2 + y^2 = a^2 * (cost)^2 + b^2 * (sint)^2 =
(cost)^2 * [a^2 + b^2 * (tgt)^2] =
(cost)^2 * [a^2 + a^2 * tg(α)^2] =
(cost)^2 / (cosα)^2 * a^2 =

另一方面，
a^2/b^2 * tg(α)^2 = tg(t)^2 ====>
a^2/b^2 * tg(α)^2 + 1 = 1/(cost)^2 ====>
[ a^2 * (sinα)^2 + b^2 * (cosα)^2 ] / b^2 = (cosα)^2 /(cost)^2 ====>

r^2 = a^2 * b^2 / [ a^2 * (sinα)^2 + b^2 * (cosα)^2 ]
再开方就得到距离。

怎么都是这么牛X的人啊 佩服

用三角函数做

楼上回答的是比较高年级学的。

可以这样做：
先写出椭圆上这任意点与原点连线的直线方程和椭圆方程，然后联立方程可解出交点即这任意点的坐标，然后用两点间距离公式就可求出这点道原点的距离了。

课 题：椭圆及其标准方程(一)
教学目标：
1.掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点,初步掌握求椭圆标准方程的方法。
2.在进一步培养学生类比、形数结合、分类讨论的数学思想方法的过程中，提高学生思维能力。
3.培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆定义和椭圆标准方程的联系。
教学方法：启发、探索、讨论、归纳、内化
教学手段：运用多媒体技术（有几何画板，PowerPoint课件）。
教学过程：
引言：1.曲线是一种空间图形,方程是一种数量关系。探索和研究直线方程与圆方程的过程告诉我们：当曲线上的点所成的集合与方程的解所成的集合建立一一对应后，形与数就密切联系起来了。于是关于曲线性质的几何问题与关于曲线方程的代数问题就可以相互转化了。
2.回顾求曲线方程的基本步骤
一、背景问题（创设情境）
1.引言：椭圆是一种常见的曲线，如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星运行的轨迹。在立体几何中画直观图时，圆的一种直观图也是椭圆。（计算机动态演示人造地球卫星的运行轨迹道）
2.问题：已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，顶点A的轨
迹图形是什么？
导析：1.点的轨迹不是圆，用多媒体课件探索并画出图形（椭圆）
2.分析动点A满足的条件，结合图形引导学生由周长的数学表达式得出：|AC|+|AB|=10，
3.揭示这个轨迹问题本质特征：平面内到两个定点的距离和为一个“特定”常数
4.变式：这个三角形的周长能否为10，为什么？（突出|AC|+|AB|>|BC|，为突破2a>2c埋下伏笔）
二、探索问题
问题一：平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是什么呢？
导析：1.用几何画板课件演示满足条件的点的轨迹是椭圆
2.让学生概括椭圆的定义，指明焦点、焦距的概念及常数2a
3.引导学生讨论为什么2a>2c
问题二：建立适当的坐标系，求椭圆的方程
导析：1.让学生按求曲线方程的基本步骤，进行自主探索、推导
2.方程的化简学生难处理要让学生充分讨论，教师点拨
3.小结点评（以下过程用课件演示）
取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴。
设P（x,y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）.
则： ，又设M与F1,F2距离之和等于2a（常数）

，

化简，得：
，由定义

令 代入，得：
，两边同除 得：
，此即为椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程。
其中
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，

说明：
1.其中：2a为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。
焦距2c，即 其中焦点为F1（ ，0）、F2（c,0）, ；
2. 在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；
3.椭圆的标准方程是椭圆在特定的坐标系中的方程,这个特定的坐标系是:这两个定点F1、F2在坐标轴(x轴或y轴)上,坐标原点是线段F1F2的中点.
4．如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成： ，只要将方程 中的x,y调换，即可得： ，此也是椭圆的标准方程。
5.椭圆的标准方程的两种形式：
（ ） （ ）
三、例题与练习：
例1. 已知椭圆的焦距是8，椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于10，写出椭圆的标准方程。
导析：1.无法确定焦点位置时，应分情况进行讨论。
2.由椭圆的标准方程的形式，只需求出a、b（注意a、b、c间的关系）
例2已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，顶点A的轨迹是什么？并求出它的标准方程(背景问题)
导析：注意A、B、C三点共线时不满足条件，应除去A与B、C重合时的情况，应在方程中加上条件y≠0..
巩固性练习：1.练习:满足下列条件的点的轨迹是椭圆吗?
1).平面内与两个定点的距离相等。
2).平面内与两个定点的距离和等于一个常数。
3).与两个定点的距离和等于一个常数(大于这两点间的距离)。
2.教材中2.7练习第2题
拓展性练习：已知椭圆的方程是 2x2+y2=4,P是椭圆上任一点，求点P 到椭圆两焦点的距离和.
四、小结：
1.数学知识：椭圆的定义、标准方程及标准方程中a、b、c的几何意义、代数关系
2.数学思想和方法：从特殊到一般，分类讨论，以及形数结合
五、作业：教材习题六第1、2、3题
六、思考题：
1.椭圆标准方程与圆心在原点的圆的标准方程有何联系？结合图形谈谈你的看法.
2.在椭圆标准方程推导过程中，经过两次平方后才能将根号消去，这一过程是否有其他途径可实现？
七、教学后记：