如何简单的证明欧几里德几何中平行于母线的面截圆锥面得到抛物线？

严格说来不是平行于母线, 而是平行于与之垂直的轴截面上的母线.

立体图不太好作, 姑且用一个平面图来代替一下.

上图是与截面α垂直的轴截面图(虚线以及P,Q两点不在其上).

A是圆锥的锥顶, AB是与α平行的母线, AC是与AB对径的母线.

截面α垂直交平面ABC于直线FE, D是母线AC与α的交点.

作圆锥的一个内切球使其与平面α相切, 球心设为O, 与α的切点设为F(易见F在平面ABC上).

球O与圆锥的切点构成一个圆, 其所在平面记为β, 易知β与平面ABC垂直.

β与平面ABC交于直线BE, C是母线AC与β的交点.

平面α与β的交线记为l, 易见l垂直交平面ABC于E.

我们证明截线是以F为焦点, 以l为准线的抛物线.

设圆锥的母线与β的夹角为θ, 可知α与β的夹角也为θ.

任取截线上一点P, 设母线AP与平面β交于点Q(注意P,Q未必在平面ABC上).

则PQ与球O相切于Q.

又由球O与平面α相切于F, 可知PF与球O相切于F.

于是PQ与PF是过P点的两条切线, 有PQ = PF (推广切线长定理, 可用勾股定理证明).

由母线AP与β的夹角为θ, 可知P到β的距离为PQ·sin(θ).

而由α与β的夹角为θ, 可知P到β的距离 = P到l的距离·sin(θ).

故P到l的距离 = PQ = PF.

截线上任意一点到F与l的距离相等, 即截线是以F为焦点以l为准线的抛物线.

(严格来说还应验证抛物线上任意一点都在截线上, 这个不难用同一法证明).