函数y=(1/sinx)+(1/cosx)+(1/sinxcosx),x∈(0,π/2),求y的最小值

函数y=(1/sinx)+(1/cosx)+(1/sinxcosx),x∈(0,π/2),求y的最小值

y=(1/sinx)+(1/cosx)+(1/sinxcosx)
=（sinx+cosx+1）/(sinxcosx)
令t=sinx+cosx=根号2sin（x+π/4）
∵x∈(0,π/2),∴ t∈（1,根号2）
那么2sinxcosx=（sinx+cosx）²-sin²x-cos²x=t²-1
∴
y=2（t+1）/(t²-1)
方法1：
y=（2t+2）/(t²-1),t∈(1,根号2]
1/y=（t²-1）/2(t+1)= [(t+1)²-2（t+1）]/2(t+1)
1/y= (t+1)/2 -1
∵t∈(1,根号2]
∴1/y ∈（0,（根号2-1）/2]
∴y>=2/(根号2-1）=2+2根号2