分式型函数求值域类问题解答

分式型函数求值域类问题解答

函数是中学数学教学的主要内容之一，也是历年高考的重点考查知识，然而考查的的主要对向之一是函数中抽象函数问题，而抽象函数是在没有具体函数解析式下，求解有关函数知识的问题，且综合了函数的其它性质一起来考察，这给解题带来了很高的要求.其实抽象函数都具有一些背景函数，即是从我们学习过的基本函数中抽象出来的.，经过多方面的收集和整理得到，抽象函数大致可划分为以下的五种类型，为此本文将给出解答抽象函数问题的一些具体的方法，供大家参考: 1、正比列函数型 设y=f(x)为定义在R上的函数，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质 (1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数 例1：已知函数f(x)对任意的实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=2求f(x)在区间[-2,1]上的值域 分析：由题设可知，其模型函数为正比例函数型，因此求函数f(x)的值域关键在于求出其单调性。 解：令x=y=0，则f(0)=0； 令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0) ∴f(x)=-f(-x) ∴f(x)是奇函数 设-2≤x1<x2≤1，则x1-x2>0，∵当x>0时f(x)>0 即f(x2)+f(x1)=f(x2)-f(x1)>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)是[-2，1]的增函数 f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4 f(1)=-f(-1)=2 ∴函数f(x)在区间[-2，1]的值域是[-4，2] 点评：在求解此题时，已经证明了性质(1)，性质(2)，还告诉了性质(3)的证明方法，若在选择或填空题中遇到时，可直接应用。 3、指数函数型 设f(x)是定义在R上的不恒为0函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质： (1)f(x)>0且f(0)=1(2) (3)f(x)是单调函数 例2：设f(x)是R上的函数，满足条件：存在x1≠x2使得f(x1)≠f(x2)；对任意的x和y有f(x+y)=f(x)f(y)成立，求(1)f(0)的值 (2)对任意的x∈R，判断函数f(x)的值的符号。 分析：由条件可知函数f(x)是由指数函数y=ax抽象而来的，于是问题就可参照指数函数的性质来求解： 解：(1)令y=0则f(x)=f(x)f(0) f(x)[1-f(0)]=0 f(x)=0或f(0)=1 若f(x)=0则对任意的x1≠x2有f(x1)=f(x2)=0与题意不符 ∴f(0)=1 (2)令x=y≠0f(x+y)=f(2x)=f(x)f(x)=[f(x)]2≥0 由(1)知f(x)≠0∴f(2x)>0 即f(x)>0对任意的x∈R恒成立 例3：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并满足①函数f(x)的图象关于直线x=1对称②对任意的x1，x2∈[0，1]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)③f(1)=a>0，且a≠1 求：(1) 的值 (2)求证，当a>1时，f(x)在[0，1]上是增函数 (3)若数列满足 ，n∈N*，求 分析：由条件②和条件③知函数f(x)背景函数为指数函数，于是问题就好入手了。 解：(1) 又∵当x∈[0，1]时有 ∴ ∴当x∈[0，1]，函数f(x)是增函数 (3)由函数f(x)是偶函数 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称知：f(1+x)=f(1-x)，于是有f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x)=f(x) ∴函数f(x)是以2为周期的周期函数 3、对数函数型 设函数f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，恒有f(x)>0(或恒有f(x)<0)，则具有性质： (1)f