急求：e^x/(1-e^x)-1/x（x>0)的最值
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解决时间 2021-02-06 02:43
- 提问者网友：聂風
- 2021-02-05 05:16
急求：e^x/(1-e^x)-1/x（x>0)的最值
最佳答案
- 五星知识达人网友：过活
- 2021-02-05 06:50
求y=e^x/(1-e^x)-1/x（x>0)的最值
解：由于y′=[(e^x)(1-e^x)+e^(2x)]/(1-e^x)²+1/x²=(e^x)/(1+e^x)²+1/x²>0在区间(0，+∞)内恒成立，
故y在其定义域内单调递增。
x→+0limy=x→+0lim[e^x/(1-e^x)-1/x]=x→+0lim[xe^x-(1-e^x)]/[x(1-e^x)(0/0型，用洛必达法则)
=x→+0lim(e^x+xe^x+e^x)/(1-e^x-xe^x)=x→+0lim(2e^x+xe^x)/(1-e^x-xe^x)=-∞
(x从0的右边靠近0时，1-e^x<0，故极限为-∞)
x→+∞limy=x→+∞lim[e^x/(1-e^x)-1/x]=x→+∞lim{1/[(1/e^x)-1]-(1/x)}=-1
故-∞
解：由于y′=[(e^x)(1-e^x)+e^(2x)]/(1-e^x)²+1/x²=(e^x)/(1+e^x)²+1/x²>0在区间(0，+∞)内恒成立，
故y在其定义域内单调递增。
x→+0limy=x→+0lim[e^x/(1-e^x)-1/x]=x→+0lim[xe^x-(1-e^x)]/[x(1-e^x)(0/0型，用洛必达法则)
=x→+0lim(e^x+xe^x+e^x)/(1-e^x-xe^x)=x→+0lim(2e^x+xe^x)/(1-e^x-xe^x)=-∞
(x从0的右边靠近0时，1-e^x<0，故极限为-∞)
x→+∞limy=x→+∞lim[e^x/(1-e^x)-1/x]=x→+∞lim{1/[(1/e^x)-1]-(1/x)}=-1
故-∞
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