2009,泰安)如图,△OAB是边长为2的等边三角形

2009,泰安)如图,△OAB是边长为2的等边三角形

（2009•泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-
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x+m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．

解：

⑴过A作AC⊥X轴于C，
∵ΔOAB是边长为2的等边三角形，∴OC=1，AC=√3，∴A(1，√3)
直线 Y=-√3/3X+m过A，∴√3=-√3/3+m，m=4√3/3。
∴Y=-√3/3X+4√3/3，令Y=0得：X=4，∴E(4，0)；
⑵过原点的抛物线设为Y=aX^2+bX,
a+b=√3,
16a+4b=0,
解得：a=-√3/3，b=4√3/3。
∴解析式为：Y=-√3/3X^2+4√3/3X；
⑶SΔAOE=1/2OE*AC=2√3为固定值，
∴只要SΔPAE最大即可，
设P(n，-√3/3n^2+4√3/3n)，过P作PQ⊥X轴交AE于Q，
则PQ=|-√3/3n^2+4√3/3n-(-√3/3n+4√3/3)|=√3/3|-n^2+5n-4|
SΔAPE=SΔPQA+SΔPQE=1/2PQ*3
=√3/2(-n^2+5n-4)
=-√3/2(n-5/2)^2+9√3/8，
∴当n5/2时，S最大=9√3/8+2√3=25√3/8

⑴过a作ac⊥x轴于c， ∵δoab是边长为2的等边三角形，∴oc=1，ac=√3，∴a(1，√3) 直线 y=-√3/3x+m过a，∴√3=-√3/3+m，m=4√3/3。 ∴y=-√3/3x+4√3/3，令y=0得：x=4，∴e(4，0)； ⑵过原点的抛物线设为y=ax^2+bx, a+b=√3, 16a+4b=0, 解得：a=-√3/3，b=4√3/3。 ∴解析式为：y=-√3/3x^2+4√3/3x； ⑶sδaoe=1/2oe*ac=2√3为固定值， ∴只要sδpae最大即可， 设p(n，-√3/3n^2+4√3/3n)，过p作pq⊥x轴交ae于q， 则pq=|-√3/3n^2+4√3/3n-(-√3/3n+4√3/3)|=√3/3|-n^2+5n-4| sδape=sδpqa+sδpqe=1/2pq*3 =√3/2(-n^2+5n-4) =-√3/2(n-5/2)^2+9√3/8， ∴当n5/2时，s最大=9√3/8+2√3=25√3/8