如何证明热传导方程是抛物型方程

如何证明热传导方程是抛物型方程

光滑性） 若ƒ呏0，则由初值问题解的表达式可看出,若u0(x,y,z)有界连 抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程
续,则初值问题(1)、(2)的解u(x,y,z,t)当t>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量x，y，z是解析的，关于时间变量t属于谢弗莱二类函数，即在｜x｜<ρ内满足 当ƒ扝0时,热传导方程解的可微性质与ƒ的性质有关,例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定ƒ(x,y，z,t)连续以外,还要求对x，y，z或对t是赫尔德连续的。 　　解的渐近性 如果边界上的温度以及热源密度与时间无关()，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当t→∞时,不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布u(x,y,z)），它是椭圆边值问的解。 　　解的半群性质 热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。如果边界温度为零，S(t)表示由初始时刻的温度场映到t时刻的温度场的线性解算子，，由于热传导的不可逆性质,因此算子具有半群性质:①S(0)=I（I为恒同算子）;②S(t+τ)=S(t)S(τ)t, 抛物型偏微分方程
τ≥0；。由泛函分析中的希尔-吉田定理,存在一个相应的无穷小生成子A,S(t)=e-tA，使得具有齐次边条件的第一边值问题(1)、(2)、(3)的解具有明显的表达式　， 式中 。