如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在AD、CD上滑动，问当DE为何值时，△ABE与△MDN相似

如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在AD、CD上滑动，问当DE为何值时，△ABE与△MDN相似

解：∵正方形ABCD边长是2
∴BE=CE=1，∠B=∠D=90°
∴在Rt△ABE中，AE=√( 2^2+1^2)= √5
第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即 √5：1=2：DM，∴DM= 2√5/5；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即 √5：1=1：DM，∴DM=√ 5/5．
所以DM= 2√5/5或√5/5．

mn可滑动，所以角 dmn 可连续变化，即△MDN为任一直角三角形，所以若△ABE与△MDN相似，则△ABE为直角三角形，而e在bc的垂直平分线上，
角abe=90 ，e为bc中点，de=√5
角bae=90，e为ad中点，de=1，
角aeb=90，则e在，以ab中点为圆心，1为半径的圆上，而e又在bc的垂直平分线上，所以e为两线交点，即正方形中心，所以de=√2
所以 de 为 √5 或 1 或 √2

在△ABE中，AE=√2^2+1^!=√5
（1）
MN平行于AE时，
则∠DNM=∠DAE
因为ABCD是正方形，
所以∠DAE=∠AEB
所以∠AEB=∠DNM
所以△ABE相似于△MDN
所以AB/DM=AE/MN
所以DM=AB×MN/AE
=2×1/√5
=2√5/5.
(2)若∠BAE=∠DNM
△ABE相似于△NDM
BE/DM=AE/MN
所以DM=√5/5