设a为实常数，讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)实根个数

设a为实常数，讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)实根个数

定义域X<1<3,且x<a

lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
x^2-4x+3=x-a
x^2-5x+(a+3)=0
Δ=25-4（a+3）=13-4a

Δ>0,要两个根，则a<13/4
验证， 函数F(X)=（x-5/2）^2+(a-13/4) ，轴X=2.5在(1,3)范围内
F（1）=a-1, F(3)=a-3
要有两个根，则F(1)>0,F(3)>0,得到 3<a<13/4
当1<a<=3 一个跟
当a<=1,没有跟
Δ=0,a=13/4,代入原方程，求得a=2.5符合定义域
Δ<0，

综上，3<a<13/4，两个根
1<a<=3 or a=13/4，一个跟
a>13/4 or a<=1，无解

原方程等价为(x-1)(3-x)=(a-x) （1<x<3) <==>x^2-5x+a+3=0 (1<x<3) <==>(x-5/2)^2=13/4-a 令左边f(x)=(x-5/2)^2 右边g(x)=13/4-a 画出f(x)图像 (1<x<3) 由于g(x)=13/4-a是水平直线，与f(x)有几个交点原方程就有几个解 当a>13/4 或a<=1时无解 当1<a<=3 或a=13/4时一解 当3<a<13/4时两解

定义域x<1<3,且x<a 

lg(x-1)(3-x)=lg(a-x) 
x^2-4x+3=x-a 
x^2-5x+(a+3)=0 
δ=25-4（a+3）=13-4a 

δ>0,要两个根，则a<13/4 
验证， 函数f(x)=（x-5/2）^2+(a-13/4) ，轴x=2.5在(1,3)范围内 
f（1）=a-1, f(3)=a-3 
要有两个根，则f(1)>0,f(3)>0,得到 3<a<13/4
当1<a<=3 一个跟
当a<=1,没有跟 
δ=0,a=13/4,代入原方程，求得a=2.5符合定义域 
δ<0，

综上，3<a<13/4，两个根
 1<a<=3 or a=13/4，一个跟 
 a>13/4 or a<=1，无解

定义域x-1>0,x>3,所以x>3 a-x>0,x<a 若a<=3,则x>3和x<a不能同时成立 方程无解 若a>3,则3<x<a lg(x-1)(x-3)=lg(x^2-4x+3)=lg(a-x) x^2-4x+3=a-x x^2-3x+3-a=0 (x-3/2)^2+3/4-a=0 因为3<x<a 所以,定义域在对称轴x=3/2右边，是增函数 所以和x轴最多有一个交点 且f(x)=(x-3/2)^2+3/4-a是增函数 3<x<a 所以f(x)>f(3)=(3-3/2)^2+3/4-a=3-a a>3,所以3-a<0 所以3<x<a时，f(x)最小可以取到负数 所以f(x)和x轴右交点，即有解 综上 a<=3,无解 a>3,有一个解