关于：若有单位元的非零交换环R为单环，则R一定是域。

下面是搜到的证明：
反证法：设R不为域
那么存在a∈R，a不等于0，且a不可逆，于是aR不等于R
因为若aR=R，那么存在b∈R,使得ab=1，而且交换环可知ba=1，与a不可逆矛盾
所以aR不等于R
显然aR不等于0
那么aR是R的非平凡理想
因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR
所以aR是理想，且非平凡
那么这与R是单环矛盾
故R一定是域
问题：“因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR“这句话是干什么的？是这里用到交换性吗？
求详细解释。

反证法：设R不为域
那么存在a∈R，a不等于0，且a不可逆，于是aR不等于R
因为若aR=R，那么存在b∈R,使得ab=1，而且交换环可知ba=1，与a不可逆矛盾
所以aR不等于R
显然aR不等于0
那么aR是R的非平凡理想
因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR
所以aR是理想，且非平凡
那么这与R是单环矛盾
故R一定是域

这是充分必要条件，即
若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价

对r中元素a ≠ 0, 考虑一列元素a, a^2, a^3,... 由r的元素个数有限, 存在m > n使a^m = a^n, 设b = a^(m-n), 即有a^n·(b-1) = 0. 若b = 1, 则a^(m-n-1)·a = a·a^(m-n-1) = b = 1, a可逆. 若b ≠ 1, 取最小的正整数k使a^k·(b-1) = 0, 这样的k存在因为a^n·(b-1) = 0. 此时a^(k-1)·(b-1) ≠ 0, 但a·(a^(k-1)·(b-1)) = a^k·(b-1) = 0, a为零因子. 其实交换的条件是多余的.