高数题,x’=x^2-1,x等于多少?

高数题,x'=x^2-1,x等于多少?
求解下面3个方程,并做积分曲线：
x'=x^2-1
x'=x^2-3x
x'=cos(x)
如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.

这三个方程都是一样的类型,就是不显含自变量的,等式右边只有因变量x.这种天生就是变量分离的方程,只要把右边除过来,然后两边积分即可.
比如第一个dx/dt=x²-1,得dx/(x²-1)=dt,注意这一步有个细节性问题,就是不等价转化,原本x²-1在右边,x可以取全体实数,但是现
在到分母上去了,x不等于±1才行,这无形中就丢掉两个可能的解,就是x=±1这两个常数函数特解,你先试试x=±1,发现满足这个方程,所以先知道它有
两个特解,然后再往下做.
dx/(x²-1)=dt两边积分,得∫dx/(x²-1)=t+C
左边的积分是常规的分式积分计
算,先裂项再积分.1/(x²-1)=1/2 [1/(x-1)-1/(x+1)]然后积分,得到左边=1/2
(ln|x-1|-ln|x+1|)+C=1/2 ln|(x-1)/(x+1)|+C（1/x的积分是ln|x|,不要忘了绝对值）
所以积分曲线就是ln|(x-1)/(x+1)|=2t+C,
你可以用渐近行为和对称性大致画出图象.设横坐标表示t,纵坐标是x,先设C=0,画t=t(x)的图象（你可以现在把横坐标看成是因变量,x看成自变
量）,然后再让图象可以整体平移就代表了C可以是全体实常数.用渐近行为判断：x趋于无穷的时候应该是2t=0,t=0,所以两边取无穷的时候都是0；另外这是个奇函数,x→-x时ln项分子分母颠倒,多出负号；还有x=±1的时候函数是趋近于无穷的,所以图象大致能判断出是什么样的（这就是个线性分式函数加绝对值,与对数函数的符合,大致还是线性分式函数的样子）,而且可以上下随意平移.别忘了两个特解也画上（两个特解正好是±1那个位置,是渐近线,常微分方程里面往往都有这个规律,特解是所有通解曲线的包络线,或者和所有通解都相交,等等）.
第二个也类似,先右边除过来,把特解考虑上,然后两边积分,然后画图（和1类似）.第三个也是这样,不过特解有无穷多,所有x=kπ都是,然后积分,1/cosx积分稍微有点麻烦,用三角有理式通用的方法可以做（可以上下都乘cosx,下面变成1-sin²x,上面变成dsinx,令y=sinx,就是dy/1-y²和1一样了）.