1.已知数列{a(n)}的各项均不为零,且a(n)=[3a(n)-1]/[a(n-1)+3] (n≥2),b(n)=1/

1.已知数列{a(n)}的各项均不为零,且a(n)=[3a(n)-1]/[a(n-1)+3] (n≥2),b(n)=1/a(n).
求证：数列{b(n)}是等差数列.

证明：由an=3a(n-1)/[a(n-1)+3] （n>=2）可得
a（n+1）=3an/(an+3) （n>=1）
由于{an}各项均不为零,此式两边取倒数得
1/a(n+1)=(an+3)/3an （n>=1）
化简得 [1/a(n+1)]-(1/an)=1/3 （n>=1）
即{1/an}(n>=1)为公差为1/3的等差数列
即{bn}是等差数列