数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}

数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}

大写字母后的小写字母代表下标A(n+1)=4An-3n+1A(n+1)-(n+1)=4An-3n+1-(n+1)A(n+1)-(n+1)=4An-4nA(n+1)-(n+1)=4(An-n)所以 数列{An-n}是以4为公比的等比数列,首项(A1-1)=1通项公式为：An-n=4^(n-1)数列{An-n}前n项的和：Sn'=(1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)/3即：(A1-1)+(A2-2)+(A3-3)+...+(An-n)=(4^n-1)/3所以 A1+A2+A3+...+An-(1+2+3+...+n)=(4^n-1)/3所以 Sn=A1+A2+A3+...+An=(4^n-1)/3+n(n+1)/2======以下答案可供参考======供参考答案1:a(n+1)-(n+1)=4a(n)--3n+1-(n+1) a(n+1)-(n+1)=4[a(n)-n] [a(n+1)-(n+1)]/[a(n)-n]=4 [a(n)--n]是等比数列 Sn=(1-4^n)/(1-4) =(1/3)*(4^n-1)供参考答案2:由a(n+1)=4a(n)--3n+1得a(n+1)-（n+1）=4{a(n)-n}所以{a(n)--n}是等比数列a(n)--n=4^(n-1) *(a1-1)=4^(n-1)所以an=4^(n-1)+nS=a1+a2+……+an=2+（4+2）+……+{4^(n-1)+n}={1+4+……+4^(n-1)}+（1+2+……+n）=4^n/3-1/3+n^2/2+n/2供参考答案3:因为a(n+1)=4a(n)--3n+1所以 a(n+1)-(n+1)=4(a(n)-n) q=[a(n+1)-(n+1)]/(a(n)-n)=4 n>=1所以{a(n)--n}是等比数列因为a1=2 a1-1=1a(n)-n=1*q^(n-1)=4^(n-1)a(n)=n+4^(n-1)s=1+2+3+...+n+4^0+4^1+...+4^(n-1)s=(1+n)*n/2+4(1-4^n)/(1-4)s=(1+n)*n/2+(4^(n+1)-4)/3

谢谢了