证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3
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解决时间 2021-07-31 22:05
- 提问者网友：鼻尖触碰
- 2021-07-31 06:58
证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3
最佳答案
- 五星知识达人网友：痴妹与他
- 2021-07-31 07:47
f(x)=x^2+aln(1+x),取不妨取a=-1,构造函数g(x)=x^3-x^2+ln(1+x) 则g'(x)=[x^3+(x-1)^2]/(1+x),当x>0时g'(x)>0恒成立,于是g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以必有g(x)>g(0)=0 而1/n ∈（0,1],所以令x=1/n上式也成立,所以就有1/n^3-1/n^2+ln(1+1/n)>0 上式化简即得ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3
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