集合 证明题

已知集合S是两个整数平方和的集合,即S={x|x=m²+n²,m∈Z,n∈Z}

求证:若s,t∈S,且t≠0,则s/t=p²+q²(p,q∈Q)

证明：(方法1)设t=c^2+d^2
s/t=(a+bi)(a-bi)/[(c+di)(c-di)]
=[(a+bi)/(c-di)]*[(a-bi)/(c+di)]
=[(ac-bd)+(bc+ad)i]/(c^2+d^2)][(ac-bd)-(bc+ad)i]/(c^2+d^2)]
=[(ac-bd)^2+(bc+ad)^2]/t^2
=[(ac-bd)/t]^2+[(bc+ad)/t]^2

(方法2)利用题意假设s/t= (m1^2+n1^2)/(m2^2+n2^2)

如果令(m1^2+n1^2)/(m2^2+n2^2) =P^2+Q^2

那么可以得到m1^2+n1^2= (m2P+n2Q)^2+ (Pn2-Qm2)^2

那么可以得到 m1=m2P+n2Q， n1=Pn2 -Qm2

显然可以利用方程组得到P， Q

此时的P Q是有理数