高中数学向量的简单题

若向量p在基底{abc}的坐标是(2010，2011，2012)则在{a,b+c,b-c}下的坐标是？

p=2010a+2011b+2012c..............(都是向量)
p=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c...........(x,y,z是数)
故x=2010,y+z=2011,y-z=2012
解得x=2010,y=2011.5,z=-0.5

b＝(b+c)/2＋(b-c)/2，c＝(b+c)/2-(b-c)/2。p＝2010a＋2011b＋2012c＝2010a＋2011×(b+c)/2＋2011×(b-c)/2＋2012×(b+c)/2 - 2012×(b-c)/2＝2010a＋(4023/2)b＋(-1/2)c。所求坐标是(2010,4023/2,-1/2)

下面提供您2种证法,请君自便,(向量表示符号弄不出,可能给您带来阅读等方面不便,在此深表歉意.) 证法1 先做图,做出过b, c的两条中线,分别交ac于m,交ab于n,所以m,n是ac,ab的中点.连接mn 设向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ为不等于0的实数) 向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn, 向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm 所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn 即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量 因为向量pm与向量pn不共线,所以λ=2,μ=2 所以向量bp=2向量pm 由此证得两中线交点把bm分成2:1.同理可证另一条中线与bm的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 得证. 证法2 作出一个三角形abc,设d,e,f分别是bc,ca,ab的中点,在平面上任取一点o,设向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c 则向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a). 再设p为ad上的三等分点，满足向量ap=2向量pd， 则向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可证，p也是be，cf的三等分点，因此三条中线交于点p。 三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2