自点A(4,0)引圆x^2+y^2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程。

自点A(4,0)引圆x^2+y^2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程。

A(4,0)引圆x^2+y^2=4的割线ABC
令BC中点为P(x,y),连接OP
则OP⊥AC
∴|OP|²=|OA|²-|AP|²
∴x²+y²=16-(x-4)²-y²
∴x²+y²-4x=0
即(x-2)²+y²=4
由(x-2)²+y²=4与x^2+y^2=4联立解得
{x=1,y=±√3
∴BC中点P的轨迹方程为
(x-2)²+y²=4 （0≤x<1)
轨迹为在圆x^2+y^2=4内部的一段圆弧

设直线方程：y=k(x-4),与圆的方程联立，得（k^2+1）x^2-8k^2x+16k^2=0,若直线与圆交于B(X1,Y1),C(X2,Y2),所以X1+X2=8k^2/k^2+1,BC中点p设为（X0,Y0）
所以X0=4k^2/k^2+1,Y0= Y1+Y2=k(X1-4)+k(X2-4)=-4k/k^2+1
X0/Y0=-k=-Y0/X0-4,X0^2-4X0+Y0^2=0,注意啦！这里面点P的轨迹可不是一个圆啊，把两个圆的方程联立求的两圆交点的横坐标为x=1，所以点P的轨迹为一段弓形，（X0-2）^2+Y0^2=4,(0≤X＜1).

P点轨迹是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆。
证明如下：
设割线PBC的斜率是k(k不等于0)。
则由直线方程的点斜式得：y=k(x-4)
代入圆的方程x^2+y^2=4,
消去y，得：x^2+k^2*(x^2-8x+16)=4.
即：(k^2+1)x^2-8*k^2x+(16*k^2-4)=0
由题意，B(x1,y1)和C(x2,y2)的横坐标x1、x2就是该一元二次方程的两个根。
于是x1+x2=8*k^2/(k^2+1).
代入PBC方程，求得：y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=k(x1+x2)-8k=-8k/(k^2+1)
设(Xp,Yp)是BC中点P的坐标，则：Xp=(x1+x2)/2,Yp=(y1+y2)/2.
Xp=4k^2/(k^2+1),Yp=-4k/(k^2+1)
想办法消去k即可。
于是，两式相除得：Xp/Yp=-k.
故：
Yp*(Xp^2+Yp^2)/Yp^2=-4*(Xp/Yp)
(Xp^2+Yp^2)=-4Xp
(Xp^2+4Xp+4)+Yp^2=4
即(Xp+2)^2+Yp^2=4.
因此，P点轨迹是以(-2,0)为圆心，以2为半径的圆。追问故：
Yp*(Xp^2+Yp^2)/Yp^2=-4*(Xp/Yp)
(Xp^2+Yp^2)=-4Xp
(Xp^2+4Xp+4)+Yp^2=4
即(Xp+2)^2+Yp^2=4.
这里是怎么得来的？
我算出来的是(Xp-2)^2+Yp^2=4.