应用幂级数性质并且求下列级数和

应用幂级数性质并且求下列级数和

楼主自己的解答，整体的思路是对的，计算过程中和表达上，
还不够完善。


下面的两张图解，提供了两种构造函数，同一个结果的解答，
构造函数的方法可以有很多种。楼主可以自己试试看，若有
疑问，欢迎追问。


整体的方法是：积分、求导并用。
在收敛域内构造一个函数，利用先求导后积分，或者，先积分
后求导的方法，将原级数化成公比小于1的无穷等比数列，然后
再按照原来积分求导或求导积分的相反次序运算，最后代入x的
特殊值得到原级数的收敛值。先积分后求导，一般不出现问题；
先求导后积分有时会出现一个积分常数的误差，只要适当选取
积分的下限，就可以避免这一误差。本题比较特殊，只要选取0
就可以了。这样解决的不是一个问题，而是一类问题。


楼上的PDF文件，看上去很巧妙。
但是整体方法不可以这样。不可以先令1/4=x。
令了x等于1/4后，x就是一个特殊的值，是1/4。就不可以对x求导。
因为在x取特殊值时，就不是函数，就不可以求导。
另外，楼上的PDF文件中，积分没有表达出来，更没有写出积分
区间。再一般情况下，这是很危险的方法，因为常数的误差，往往
就是在这种没有严格区间的情况下出现的。一旦出现后，还不容易
立刻找到。也就是说，在逻辑的严密程度上，还是经不起推敲。
 
 

做了一个答案，上传给你，是PDF的，不知道可不可以用。追问为什么我连续积分两次，求和等于 x^4/(1-x),再连续求两次导后，不行的？追答你具体怎么做的？还有，积分的话会涉及到一个常数项的问题，我估计是可以的，但是要考虑这个常数项的问题。追问
追答你不能直接对x^3/(1-x)求导啊，因为，最后一次积分得到的是x/(1-x)，因此应该首先对x/(1-x)求导，然后再乘以x^2，也即x^2*[x/(1-x)]'，在对这个求导，{x^2*[x/(1-x)]'}‘。
共参考。