关于一元二次方程的整数根的题目

关于x的一元二次方程mx^2-4x+4=0与方程x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的根都是整数，求m的值。

解：
首先看判别式。
方程有实根，判别式≥0
(-4)^2-16m≥0
m≤1
(-4m)^2-4(4m^2-4m-5)≥0
4m+5≥0
m≥-5/4

m的取值范围为-5/4≤m≤1

根是整数，则两根之和是整数，两根之积也是整数。
4/m, 4m,4m^2-4m-5是整数
m可以为-1,1
m=1时，两方程求解：x^2-4x+4=0 x=2
x^2-4x-5=0 (x-5)(x+1)=0 x=5或x=-1，根是整数，满足题意。
m=-1时，两方程求解：x^2+4x-4=0，根不是整数，m=-1不满足题意，舍去。

m=1

第一题：当a=o时显然不成立，当a不等于0时，为一元二次方程，要使有整数根，必要条件为判别式为完全平方数。判别式=-3a^2+2a+9有最大值为28/3,又因为判别式大于等于0。所以判别式只能为0或1或4。

当判别式=0，a无整数解。当判别式=1，a有一个整数解为2。当判别式=4,a有一个整数解为-1。

综上a=2或-1.

第二题：判别式=p^2-4q^4必定为完全平方数。设p^2-4q^4=t^2,显然可知p>q.

移项得（p+t)(p-t)=4q^4,右边为偶数，则左边也为偶数。又因为（p+t)与(p-t)奇偶性相同，所以它们中各含一个一个因子2。且（p+t)>(p-t)。

若p+t=2q^4,p-t=2，则消去t得p-1=q^4。若q为奇，则q为偶，不可能；所以q为偶，即q=2,p=17.

若p+t=2q^3,p-t=2q，消去t得p=q^3+q，显然p有因子q，与p为质数矛盾。

综上q=2，p=17。整数根为-1和-16。

第三题：(q-px)x=1985=5*397,（397为质数）则易知x=5或397（这是每一个根都要满足的条件）

x1+x2=q/p,x1*x2=1985/p。

若两个根都为5，带入后矛盾；

若两个根都为397，带入后也矛盾；

若一个根为5，一个根为397，可得p=1,q=402。所以原式=12+402=414