高一数学题（关于函数最值问题）

函数f（x）=√（x²-2x+2）+√（x²-4x+8）的最小值为_____

我要详细过程，谢谢！

f(x)=√[(x-1)²+1]+√[(x-2)²+4]

A(x,0), B(1,-1), C(2,2), A为x轴上的动点

AB=√[(x-1)²+1], AC=√[(x-2)²+2], ∴f(x)=AB+AC>=BC(两点之间线段最短)=√[(2-1)²+(-1-2)²]=√10

此时A在线段BC上, 可求得A(4/3,0),即x=4/3

综上,f(x)最小值为√10, 此时x=4/3

设y=x-1

f（x）=√（x²-2x+2）+√（x²-4x+8）

f(x)=f(y+1)=√y²+1+√[（y-1）²+4]

当y=1，x=2时最小为√2+2

此处另y=0，则问题转化为直角坐标系中，x轴上的某点到另外两点间距离之和，（-1，1）（-1.-1）与（2，2）（2，-2）两组点关于x轴对称，故不影响问题求解，所以当x=0是式子取最小值

分别转化为顶点式  容易看出 最小值一定在0