已知a大于0且a≠1，试求使方程loga（x-ak）=loga²（x²-a²）有解的的取值范围
- 提问者网友：星軌
- 2021-11-09 21:57
- 五星知识达人网友：时间的尘埃
- 2021-11-09 23:28
loga(x-ak)=lg(x-ak)/lga
loga²（x²-a²）=lg(x²-a²)/lga²=lg(x²-a²)/2lga
所以让两个式子相等，化简一下得：
lg(x-ak)=lg(x²-a²)/2
2lg(x-ak)=lg(x²-a²)
(x-ak)²=(x²-a²)
解得：x=a(k²+1)/2k
- 1楼网友：長槍戰八方
- 2021-11-10 00:02
解析：由题设条件可知，原方程的解x应满足
(x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!)
x-ak>0---------------------------------------(2)
x^2-a^2>0-----------------------------------(3)
当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解
(x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!)
x-ak>0---------------------------------------(2)
再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．
解答：解：由对数函数的性质可知，
原方程的解x应满足
(x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!)
x-ak>0---------------------------------------(2)
x^2-a^2>0-----------------------------------(3)
当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，
因此只需解
(x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!)
x-ak>0---------------------------------------(2)
由（1）得2kx=a（1+k2）__------------------------（4）
当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．
当k≠0时，（4）的解是x= a(1+k^2)/2k ______(5)
把（5）代入（2），得 1+k^2/2k>k．
解得：-∞＜k＜-1或0＜k＜1．
综合得，当k在集合（-∞，-1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．