韦达定理的内容与解法

韦达定理的内容与解法

韦达定理说明一元二次方程两根之间的关系. 　　

一元二次方程ax2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系:x1+x2=-b/a , x1*x2=c/a

主要运用于一元二次方程中，很方便。

解答：对于方程ax^2+bx+c=0有两个根，则有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a. 希望能对您有所帮助，谢谢采纳。

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

　一元二次方程ax2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系:x1+x2=-b/a , x1*x2=c/a

经典例题

　　例1 已知p＋q＝198，求方程x^2＋px＋q＝0的整数根．

　　(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

　　解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

　　x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

　　于是x1·x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，

　　即x1·x2－x1－x2＋1＝199．

　　∴(x1－1)·(x2－1)＝199．

　　注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，

　　解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

　　例2 已知关于x的方程x^2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

　　解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

　　x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

　　于是x1x2＋x1＋x2＝11，

　　即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

　　∵x1、x2为正整数，

　　解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

　　故有m＝6或7．

　　例3 求实数k，使得方程k(x^2)＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

　　解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

　　若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

　　∴x1x2－x1－x2＝2，

　　(x1－1)(x2－1)＝3．

　　因为x1－1、x2－1均为整数，所以

　　例4 已知二次函数y＝－x^2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

　　(’97四川省初中数学竞赛试题)

　　证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

　　α＋β＝p，αβ＝－q．

　　于是p＋q＝α＋β－αβ，

　　＝－(αβ－α－β＋1)＋1

　　＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．