空间向量 点到面的距离

点到平面向量的距离：先建立空间直角坐标系，x、y、z轴。设该平面为“平面ABC”设该点为P。然后用向量表示向量PA。你事先知道四个点的坐标。A(1,1,1),B(2,2,3),C(0,0,3),P(1,4,2).则向量PA（1-1,1-4,1-2)
向量AB（1-2,1-2,1-3),向量AC(1-0,1-0,1-3)
算得向量PA（0，-3，-1）AB(-1,-1,-2) AC(1,1,-2)
设向量n(x,y,z)垂直于平面ABC
则有：AB·n=0
AC·n=0
得-x-y-2z=0
x+y-2z=0
设x=1,则解得z=0,y=-1
所以向量n(1,-1,0)
向量n与向量PA的夹角设为a
则由公式cos a=cos=((0*1)+(-3*-1)+(-1*0))/（根号下（1平方+（-1）平方+0）*根号下（0+（-3）平方+（-1）平方））
=cos 3/根号18
所以夹角为arccos 3/根号18
择点P到平面ABC的距离为（0+(-3)平方+（-1）平方）* arccos 3/根号18
=10 * arccos3/根号18

问题是为什么要把x设为1

设为1，这样就不需解三元方程了，设为2，与设为其他的数解出答案都是一样的，那么为什么不设为1呢，因为1算起来方便，但有一点要注意有的向量或法向量在x轴上的分量是零，你设为1会矛盾的，如果矛盾再换一个把y设为一；

把x设为1是便于运算，如果设x=m时求出的法向量n与（1，-1,0）是共线向量，向量n与向量PA的夹角余弦值的绝对值和（1，-1,0）与向量PA的夹角余弦值的绝对值相同。

平面法向量n 若求点a到平面距离 设b为平面上一点 有向量ab d=l n.ab l/l n l 即该点与平面上任一点的连线的向量与法向量点积的绝对值再除以法向量的模